Математики, шпионы и хакеры. Кодирование и криптография | страница 14
750 
Мы говорим: «750 сравнимо с 30 по модулю 360». В случае с часами мы бы написали
14
Мы также можем представить себе часы с отрицательными числами. В этом случае который будет час, когда стрелка показывает на —7? Или, другими словами, с каким числом сравнимо число —7 по модулю 12? Давайте посчитаем, учитывая, что на наших часах с циферблатом, разделенным на 12 частей, значение 0 соответствует 12.
— 7 = —7 + 0 = —7 + 12 = 5.
* * *
ОТЕЦ АНАЛИТИЧЕСКОЙ КРИПТОГРАФИИ
Основная работа Евклида Александрийского, «Начала», состоит из 13 томов, в которых излагаются основные факты планиметрии, теории пропорций, свойства чисел, сведения об иррациональных числах и стереометрии. Чаще всего ассоциируемые с этой последней теорией, работы греческого математика, связанные с арифметическими операциями на конечных числовых множествах, или операциями по модулю, являются одним из столпов современной теории криптографии. Известные и почитаемые еще арабскими учеными, работы Евклида впервые были изданы в Венеции в 1482 г. Вовсе не случайно, что и арабы, и венецианцы были великими мастерами криптографии.
* * *
ОПЕРАЦИИ ПО МОДУЛЮ
Как посчитать 231 по модулю 17 на калькуляторе?
Сначала мы разделим 231 на 17 и получим 13,58823529.
Затем найдем произведение 13 x 17 = 221. Таким образом мы избавимся от дробной части.
Наконец, найдем разность 231–221 = 10, получив остаток отделения.
Итак, 231 по модулю 17 равно 10. Этот результат записывается как 231
* * *
Математика для расчетов на наших часах со стрелками, циферблат которых разделен на 12 частей, называется арифметикой по модулю 12. В общем случае мы говорим, что a
a
b
а — b 0 (mod m)
а — b кратно m
Вопрос «Которому часу на часах со стрелками соответствует время 19 часов?» эквивалентен в математических терминах следующему вопросу: «С каким числом сравнимо число 19 по модулю 12?» Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны решить уравнение
19
Разделив 19 на 12, мы получим частное 1 и остаток 7, поэтому
19
А в случае 127 часов? Разделив 127 на 12, мы получим частное 10 и остаток 7, поэтому
127
Чтобы повторить изученное до сих пор, давайте рассмотрим следующие операции по модулю 7:
(1) 3 + 3
(2) 3 + 14
