класс отрезков прямых, членами которого являются стороны этого же треугольника. Условимся понимать предложение «член класса
K принадлежит члену класса
L» как утверждение о том, что данная точка-вершина принадлежит данному отрезку-стороне. При таком понимании каждый из перечисленных пяти постулатов оказывается истинным утверждением. Например, первый постулат утверждает тогда попросту, что любые две точки, являющиеся вершинами некоторого треугольника, принадлежат в точности одному отрезку, служащему стороной этого треугольника. Аналогичным образом мы убеждаемся в истинности остальных постулатов и в совместимости всей данной системы постулатов в целом.
Непротиворечивость геометрии Римана также, оказывается, можно установить при помощи модели, реализующей ее постулаты. Мы можем интерпретировать (истолковать) слово «плоскость», фигурирующее в формулировках римановских аксиом, как поверхность некоторой (евклидовой!) сферы, под «точкой» понимать точку, лежащую на этой сферической поверхности, под «прямой» — дугу большого круга этой поверхности и т. п. Тогда каждый постулат римановской системы оказывается теоремой евклидовой геометрии. Скажем, риманов постулат параллельности при такой интерпретации гласит: «Через точку, лежащую на поверхности сферы, нельзя провести ни одной дуги большого круга этой сферы, которая не пересекала бы произвольной данной окружности большого круга, выбранной на этой поверхности».
Но приведенное рассуждение не является исчерпывающим доказательством непротиворечивости геометрии Римана: ведь оно существенно опирается на допущение о непротиворечивости геометрии Евклида. Так что теперь неизбежно встает вопрос: а действительно ли непротиворечива сама геометрия Евклида?
По давно установившейся традиции на такой вопрос отвечали обычно в том духе, что «аксиомы Евклида истинны, а стало быть, и непротиворечивы». Но такой ответ мы уже не можем более рассматривать как удовлетворительный (мы еще вернемся к этой теме и разъясним подробнее, в чем именно заключается его неудовлетворительность). Другой ответ состоит в том, что евклидовские аксиомы согласуются с фактическими — хотя и ограниченными — данными нашего опыта и наблюдения, относящимися к пространству, и что, принимая эти аксиомы, мы вправе обобщить, экстраполировать наши знания о некоторой ограниченной области. Однако самое большее, на что мы можем рассчитывать, исходя из таких «индуктивных» соображений, — то, что аксиомы «правдоподобны», истинны «с большой вероятностью».
