-Хиллел И. Основания теории множеств / Пер. с англ. М.: Мир, 1966. Гл. X. § 8; 3-е изд. М.: URSS, 2010. Прим. перев.)
Заключения, к которым пришел Гёдель, порождают, естественно, и вопрос, можно ли построить вычислительную машину, сравнимую по своим «творческим» математическим возможностям с человеческим мозгом. Современные вычислительные машины обладают некоторым точно фиксированным запасом команд, которые умеют выполнять их элементы и блоки; команды соответствуют фиксированным правилам вывода некоторой формализованной аксиоматической процедуры. Таким образом, машина решает задачу, шаг за шагом выполняя одну из «встроенных» в нее заранее команд. Однако, как видно из гёделевской теоремы о неполноте, уже в элементарной арифметике натуральных чисел возникает бесчисленное множество проблем, выходящих за пределы возможностей любой конкретной аксиоматической системы, а значит, и недоступных для таких машин, сколь бы остроумными и сложными ни были их конструкции и с какой бы громадной скоростью ни проделывали они свои операции. Для каждой конкретной задачи в принципе можно построить машину, которой эта задача была бы под силу, но нельзя создать машину, пригодную для решения любой задачи. Правда, и возможности человеческого мозга могут оказаться ограниченными, так что и человек тогда сможет решить не любую задачу. Но даже если это так, структурные и функциональные возможности человеческого мозга пока еще намного больше по сравнению с возможностями самых изощренных из мыслимых пока машин, так что непосредственной опасности вытеснения людей роботами не видно[20].
При всем сказанном теорему Гёделя отнюдь не следует расценивать как некое основание для интеллектуального пессимизма или оправдания мистических представлений о разуме. Обнаружение того факта, что для любой формальной системы существуют арифметические истины, которые нельзя в ней формально доказать, вовсе не означает наличия каких-то совершенно непознаваемых истин или же что роль строгого доказательства отныне должна занять некая «мистическая» интуиция, заслуживающая большего доверия, чем применяемые нами формы интеллектуального исследования. Не означает оно и утверждаемой некоторыми мыслителями «принципиальной ограниченности человеческого мышления». Означает оно лишь то, что возможности нашего мышления не сводятся к полностью формализуемым процедурам и что нам еще предстоит открывать и изобретать новые принципы доказательств. Мы ведь видели уже, что истинности некоторых математических утверждений, не выводимых из данного множества аксиом, можно тем не менее установить при помощи метаматематических рассуждений. И утверждать, что для обоснования таких формально недоказуемых (но устанавливаемых посредством метаматематических рассуждений) истин можно в лучшем случае рассчитывать лишь на интуицию, было бы совершенно безответственно.
