, подстановкой вместо входящей в эту формулу переменной с гёделевским номером 13 цифры «
m». Такая метаматематическая характеристика однозначно определяет некоторое число, являющееся некоторой определенной функцией от чисел
m и 13, причем сама эта функция может быть выражена средствами нашей формализованной арифметической системы. Значит, и само число можно выразить
внутри нашего исчисления. Обозначим его через «sub(
m, 13,
m)», напоминая тем самым, что речь идет о гёделевском номере формулы, полученной из формулы, имеющей гёделевский номер m, подстановкой
[17] вместо входящей в нее переменной с гёделевским номером 13 цифры, обозначающей число
m. Вообще, через «sub(
y, 13,
y)» мы будем обозначать теперь арифметическую формулу, выражающую
внутри арифметического исчисления метаматематическую характеристику: «гёделевский номер формулы, получаемой из формулы, имеющей гёделевский номер
y, подстановкой вместо входящей в нее переменной, имеющей гёделевский номер 13, цифры, обозначающей число „
y“». Если в выражение «sub(
y, 13,
y)» мы подставим теперь вместо «
y» какую-нибудь определенную цифру, скажем, цифру, обозначающую число
m, или выражение 243 000 000, то получающееся в результате выражение также будет обозначать некоторое определенное натуральное число, являющееся притом гёделевским номером некоторой определенной формулы.
У читателя не раз мог возникнуть вопрос, почему, собственно, мы говорили сейчас не просто о «числе y», а — столь вычурно и длинно! — о «цифре, обозначающей y». Впрочем, сама форма вопроса уже отчасти подсказывает ответ. Мы ведь уже упоминали о важном различии между понятиями «число» и «цифра». Цифра — это некоторый знак, т. е. выражение языка, которое можно записывать, стирать, зачеркивать, повторять и т. д. и т. п. Число же — это то, именем (или названием, обозначением) чего является обозначающая его цифра; само по себе число нельзя записать, стереть, зачеркнуть, повторить.
Скажем, когда мы говорим, что 10 — число пальцев на обеих руках, то мы характеризуем этой фразой некоторое «свойство» множества наших пальцев — свойство, которое, разумеется, «цифрой» никак не назовешь. Но число 10 может записываться как арабскими цифрами: «10», так и римскими цифрами (т. е. прописными латинскими буквами) «X»; эти имена сами по себе, конечно, различны, хотя обозначают они одно и то же число. Так вот, когда мы производим подстановку вместо числовой переменной (которая сама есть просто знак, буква), то мы ставим вместо одного знака другой знак. Мы не можем подставить вместо знака число — ведь число, являющееся некоторым свойством (или, как иногда говорят, понятием), вообще не есть что-то такое, что можно непосредственно нанести на бумагу. Итак, вместо числовой — а лучше сказать,
