Легко видеть, что каждое такое определение состоит лишь из конечного числа слов, а потому и из конечного числа букв алфавита. Поэтому мы можем ввести для таких словесных определений отношение порядка, считая одно определение предшествующим другому, если число букв, из которых состоит первое определение, меньше числа букв, составляющих второе определение; в тех же случаях, когда два определения состоят из одного и того же числа букв[11], одно из них считать предшествующим другому в обычном лексикографическом (алфавитном, словарном) порядке. Исходя из такого упорядочения можно теперь расположить все определения рассматриваемого вида в последовательность, сопоставив каждому из них единственное натуральное число — номер в этой же последовательности. Тогда самое короткое (и стоящее ранее других в алфавитном порядке) определение получит номер 1, следующее за ним в этом «словаре определений» — номер 2 и т. д.
Поскольку каждому определению теперь сопоставлено некоторое натуральное число, то может оказаться, что в некоторых случаях число, сопоставленное какому-нибудь определению, само будет обладать определяемым свойством.
>Ситуация здесь в точности такова же, как в том случае, когда все слова в обычном орфографическом словаре делятся на два класса: односложные и многосложные; при этом слово «многосложное» само оказывается многосложным.
Пусть, например, определяющее выражение «не делиться ни на одно натуральное число, кроме самого себя и числа 1» оказалось в нашей последовательности на 17-м месте; ясно, что сопоставленное ему число 17 само подпадает под это определение. Пусть, с другой стороны, определяющее выражение «быть произведением некоторого натурального числа на то же самое число» получило номер 15; само число 15, очевидно, не является точным квадратом и потому данным свойством не обладает. Назовем числа, не обладающие свойствами, определяемыми предложениями, которым они соответствуют в описанной нами нумерации, ришаровыми. Таким образом, «x — ришарово число» — это просто сокращение выражения «x не обладает свойством, определяемым предложением, имеющим номер x в данной словарной последовательности определяющих предложений». (Скажем, число 17 из нашего первого примера не является ришаровым, а число 15 из второго примера — ришарово.)
Теперь мы уже можем сформулировать парадокс Ришара. Определяющее выражение для свойства быть ришаровым числом описывает, очевидно, некоторое арифметическое свойство натуральных чисел. Значит, само определяющее выражение входит в описанную выше последовательность определяющих выражений. Но тогда оно имеет в этой последовательности некоторый номер, который мы обозначим через
