(но без операции умножения) натуральных чисел, для которой также можно провести абсолютное доказательство непротиворечивости. Но достаточно ли сильны финитные методы Гильберта для установления непротиворечивости систем вроде
Principia — систем, выразительные и логические средства которых позволяют построить всю арифметику, а не только отдельные ее фрагменты? Неоднократные попытки найти такое доказательство успехом не увенчались, а работа Гёделя 1931 г. показала, что они и не могли быть успешными, так как, строго придерживаясь границ, предначертанных в исходной формулировке гильбертовской программы, эту задачу вообще решить нельзя.
Что же, собственно, доказал Гёдель и как именно доказал? В работе Гёделя имеются два основных результата. Прежде всего (мы здесь не имеем в виду тот порядок, в каком эти результаты излагаются в самой работе Гёделя) он доказывает невозможность метаматематического доказательства непротиворечивости любой системы, достаточно обширной, чтобы включать в себя всю арифметику, которое (доказательство) не использовало бы каких-либо существенно иных правил вывода, кроме тех, что используются для вывода теорем в самой рассматриваемой системе. Конечно, и такое (пользующееся более сильными в некотором смысле правилами вывода) доказательство может быть очень важным и полезным. Но все же если доказательство строится на основе правил вывода, значительно более мощных, нежели логические средства арифметического исчисления, так что уверенность в непротиворечивости используемых в доказательстве допущений будет ничуть не больше, чем расчеты на непротиворечивость арифметики, то ценность такого доказательства будет довольно-таки специфической: мы убьем одно чудовище ценой рождения другого. Во всяком случае, если это доказательство будет не финитистским, то основной пункт гильбертовской программы останется, конечно, невыполненным. Гёделевское рассуждение как раз и показывает всю беспочвенность расчетов на нахождение финитистского доказательства непротиворечивости арифметики.
Второй основной результат работы Гёделя, пожалуй, еще более неожидан и поразителен; он указывает на некоторую принципиальную ограниченность возможностей аксиоматического метода. Гёдель показывает, что система Principia Mathematica, как и всякая иная система, средствами которой можно построить арифметику, — существенно неполна. Это значит, что для любой данной непротиворечивой системы арифметических аксиом имеются истинные арифметические предложения, не выводимые из аксиом этой системы.
