Подобно мольеровскому господину Журдену, всю жизнь говорившему прозой, но не подозревавшему об этом обстоятельстве, математики в течение по крайней мере двух тысячелетий обходились без точной формулировки принципов, лежащих в основе всех их рассуждений. Понимание подлинной природы таких принципов — достижение самого недавнего времени.
Почти две тысячи лет аристотелевская теория правильных форм логического вывода безоговорочно считалась исчерпывающей и не нуждающейся в дальнейшей разработке. Еще в 1787 г. Иммануил Кант говорил, что формальную логику Аристотеля «не продвинешь дальше ни на один шаг — это наиболее завершенная и полная из всех наук». На самом же деле традиционная логика существеннейшим образом не полна, и средств ее недостаточно для обоснования многих принципов вывода, используемых даже во вполне элементарных математических рассуждениях.
Простым примером могут служить принципы, используемые при следующем выводе: 5 > 3, следовательно, 5>2 > 3>2.
Возрождение логических исследований в новое время началось с опубликования «Математического анализа логики» Джорджа Буля (1847). Буль и его последователи занимались прежде всего разработкой так называемой алгебры логики, посвященной выяснению и уточнению более общих и более разнообразных типов логической дедукции, нежели подпадающие под традиционные логические принципы. С помощью булевой техники легко выражаются, конечно, и традиционные умозаключения.
Другое направление исследований, тесно связанное с разработкой математиками XIX столетия проблематики оснований анализа, также оказалось близким программе Буля. Целью нового направления было представить всю чистую математику как часть формальной логики. Классическое выражение эта линия развития логики и математики получила в Principia Mathematica Уайтхеда и Рассела (1910–1913). Математикам XIX-го столетия удалось «арифметизировать» алгебру и так называемое «исчисление бесконечно малых», показав, что различные понятия, используемые в математическом анализе, определимы исключительно в арифметических терминах (т. е. в терминах целых чисел и арифметических операций над ними). Например, вместо того чтобы допускать мнимое число √-1 в качестве некоей мистической «сущности», его стали определять как упорядоченную пару целых чисел (0,1), причем над такими парами разрешено было производить определенного рода операции «сложения» и «умножения». Аналогично, иррациональное число √2 теперь стали определять как некоторый класс рациональных чисел, а именно, как класс рациональных чисел, квадраты которых меньше 2. Рассел же (а еще ранее немецкий математик Готтлоб Фреге) поставил своей целью показать, что
