Точно таково же соотношение между математикой и метаматематикой: предмет первой составляют сами формальные системы, которые придумывают математики, предмет второй — описание таких формальных систем, выяснение и обсуждение их свойств.
Важность столь настоятельно подчеркиваемого нами различения математики и метаматематики трудно переоценить. Игнорирование или недооценка этого различения приводят к недоразумениям, а то и к прямым противоречиям. Осознание его важности позволило глубже уяснить логическую структуру математических методов рассуждения и четко регламентировать употребление различных формальных символов, превращая математику в чисто формальное исчисление, свободное от всяческих неявно подразумеваемых допущений и побочных смысловых ассоциаций. Только на базе таких новых представлений стало возможным дать точные определения математических операций и логических правил, которыми математики пользовались до тех пор без ясного понимания того, что же, собственно, они делают.
Гильберт уловил самую суть проблемы, положив в основу своих попыток построения «абсолютных» доказательств непротиворечивости различие между формальным исчислением и его описанием. Он поставил задачу развития специального метода, с помощью которого можно было бы проводить доказательства непротиворечивости той же степени убедительности, что и доказательства, использующие конечные модели, на которых реализуются определенные системы постулатов. Искомый метод должен был бы состоять в исчерпывающем анализе конечного числа структурных свойств выражений в полностью формализованных исчислениях. Анализ должен исходить из точной фиксации различных видов, входящих в рассматриваемое исчисление символов, указания на способы соединения этих символов в формулы, описания способа вывода одних формул из других и давать способ решения вопроса, выводимы ли формулы какого-либо определенного вида из некоторых определенных формул посредством явно сформулированных правил оперирования с формулами. Гильберт был убежден в том, что каждое математическое исчисление можно представить «на геометрический манер», т. е. в виде такой совокупности формул, каждая из которых связана с любой другой формулой того же исчисления лишь структурными соотношениями из некоторого конечного перечня соотношений.
На этом убеждении и основывался его расчет, что он сумеет посредством систематического и исчерпывающего обозрения этих структурных свойств выражений данной системы показать, что из аксиом данного исчисления нельзя получить формально противоречащие друг другу формулы. Существеннейшим условием гильбертовской программы в первоначальной ее формулировке было разрешение употреблять в доказательствах непротиворечивости лишь такие приемы рассуждений, которые ни в какой форме не используют ни бесконечного множества структурных свойств формул, ни бесконечного множества операций над формулами.
