До сих пор мы говорили, что «бессмысленные» значки такой формализованной математики ничего не утверждают— это пока просто некая абстрактная картинка, иллюстрирующая строение интересующей нас системы. Но, конечно, строение такой картинки — а тем самым и иллюстрируемой ею системы — мы можем описывать на обычном человеческом языке, делая определенные высказывания, относящиеся к ее общей конфигурации и соотношениям отдельных ее элементов.
Мы можем, например, отметить простоту или симметричность какой-нибудь «строчки», сходство ее с некоторой другой «строчкой» можем заметить, что одна «строчка» может быть представлена в виде сочленения трех других «строчек» и т. п. Такие высказывания, безусловно, осмыслены и, более того, могут выражать весьма существенную информацию о нашей формальной системе. Следует, однако, сразу же отметить, что все эти осмысленные высказывания о бессмысленной (или, что то же самое, — формализованной) математике никоим образом не принадлежат сами по себе этой математике. Они относятся к области, которую Гильберт назвал «метаматематикой», к языку, на котором говорят о математике. Метаматематические высказывания — это высказывания о символах, входящих в формализованную математическую систему (т. е. в исчисление), о видах символов, об их упорядочении внутри формальной системы, о способах составления из этих символов более длинных знакосочетаний («строчек»), которые естественно называть «формулами» системы, наконец, о соотношениях между формулами, в частности о том, какие формулы могут быть получены (по фиксированным нами правилам обращения с ними) в качестве «следствий» других формул.
Приведем несколько примеров, иллюстрирующих различие между математикой и метаматематикой. Скажем, выражение «2+3=5» принадлежит математике (арифметике) и строится исходя лишь из элементарных арифметических символов, в то время как высказывание «„2+3=5“ есть арифметическая формула» утверждает нечто об этом выражении. Оно само по себе не выражает никакого арифметического факта и не принадлежит формальному языку арифметики, а относится к метаматематике, характеризуя некоторую строчку, составленную из арифметических символов, как формулу.
Формулы
x = x,
0 = 0,
0 ≠ 0
принадлежат математике (арифметике); каждая из них составлена из одних только арифметических знаков. Высказывание же «„x“ есть переменная» относится уже к метаматематике, поскольку оно характеризует некоторый арифметический символ, утверждая, что он принадлежит некоторому специальному классу символов (а именно, классу переменных). Принадлежит метаматематике и высказывание «формула „0 = 0“ выводима из формулы „
