.
Теория Множеств Кантора, встретив поначалу серьёзные возражения, постепенно утвердилась в качестве главной методологии математики. Ряд поразительных открытий был сделан на этом пути. Достаточно упомянуть формулировку в 1904 г. немецким математиком Эрнстом Цермело (Zermelo, Ernst 1871–1953) аксиомы, носящей его имя (и называемой также Аксиомой Выбора). Этот принцип чрезвычайно общей природы давно употреблялся в математике, но его не выделяли и не замечали. Между тем, Аксиома Выбора позволила строго доказать совершенно поразительные утверждения. Пожалуй, самым эффектным из них является так называемый парадокс Банаха-Тарского (1920 г.): любой шар можно разбить на конечное число частей, из которых надлежащими перемещениями их в пространстве можно составить два точно таких же шара. Просто чудеса из Библии, но на сей раз в математике! Термин «парадокс» применяется к этой корректно доказанной теореме ввиду невероятности полученного результата. Воистину эти разбиения и «надлежащие» перемещения уже более принадлежат Б-жественной Сущности, чем нашей. Но также сильно чувствуется, что созданы мы по Образу и Подобию, коль скоро способны заметить усилием интеллектуального воображения тени этих «надлежащих» перемещений. Последовавшее изучение природы Аксиомы Выбора и некоторых других принципов теории множеств привело к открытиям, сравнимым по значению с открытием неевклидовой геометрии или теории относительности в физике.
Естественно, что укоренение теории множеств в качестве языка математики вызвало горячие дискуссии ведущих математиков конца 19-го начала 20-го века. Дискуссии эти продолжаются по сей день, что неудивительно, поскольку речь идёт о самом фундаменте математики.
Одной из реакций на открытие противоречий была идея ограничения понятия множества (на что указывал уже сам Кантор), построение аксиоматических систем теории множеств, исключающих известные парадоксы. Большой вклад принадлежит здесь Цермело, разработавшему самую известную аксиоматику теории множеств, и великому немецкому математику Давиду Гильберту (Hilbert, David 1862–1943), выдвинувшему программу обоснования теоретико-множественной математики[49] посредством надёжных, финитных доказательств непротиворечивости, формализующих её аксиоматических систем. Мы не можем здесь углубляться в эту интереснейшую и труднейшую область математики. Заметим лишь, что отсутствие противоречий в этих аксиоматических системах, начиная с формальной арифметики, не доказано и знаменитые результаты Гёделя (Gцdel, Kurt 1906–1978) указывают, что никаких надежд на решающий прогресс в этом направлении нет.
