В логике у Больцано рассматриваются такие важнейшие характеристики аксиоматической системы, как полнота, непротиворечивость, независимость. Он делает первые шаги к формализации аксиоматических систем. Однако он остается еще в рамках содержательного понимания аксиоматической теории. Отсюда проистекает и существенный недостаток его учения — непонимание относительности аксиом и теорем. «Аксиомы, — пишет он, — являются предложениями, которые рассматриваются в объективном отношении всегда только как основания и никогда как следствия» (там же, 43). Вполне понятно, что это объясняется и убеждением в абсолютной неизменности сферы истин-в-себе и ее независимости от реальности и языка. Но как мы теперь знаем, выбор истинных высказываний в качестве аксиом неоднозначен. Если в геометрии Евклида взять в качестве аксиомы положение «Сумма углов треугольника равна 180°», то постулат о параллельных окажется теоремой, т. е. доказуемым предложением. В Гильберт-Аккермановской аксиоматической системе логики высказываний закон исключенного третьего выводится как теорема. В традиционной логике этот закон рассматривается как аксиома.
Если под обоснованием Больцано понимает аксиоматически-дедуктивный метод, то второй вид доказательства — удостоверение истины — он считает вспомогательной научной процедурой, которая не соответствует объективной связи истин, потому что та либо неизвестна, либо отсутствует среди истин созерцания. Цель удостоверения не доказательство объективной истины, а приведение к убеждению, подкрепление обоснования или замена его, если обоснование неизвестно. Больцано считает, что в таких науках, как математика и учение о нравственности, почти каждое предложение можно вывести из его объективных оснований. В эмпирических науках это возможно лишь в редких случаях, так как основания в этих науках нам или совсем неизвестны, или известны лишь частично (21, 4, 261). Но даже при незнании оснований, полагает ученый, наше мнение, почерпнутое из различных источников, и прежде всего из эмпирического наблюдения, имеет ценность, так как побуждает к дальнейшему исследованию. Удостоверение значительно повышает также вероятность доказываемого положения. Например, если при поиске убийцы на кого-то падает подозрение, то неприязненные отношения с убитым, угрозы, наличие оружия и т. п., не являясь доказательством, увеличивают степень вероятности вины подозреваемого. Больцано утверждает, что отсутствие у многих философов понимания различия между объективным основанием и средствами его познания вело к смешению обоснования истины с ее удостоверением. Истины теоретических наук не могут, по его убеждению, быть выведены из эмпирических научных дисциплин. Истины, например, алгебры, арифметики не могут быть выведены из прикладной математической дисциплины — геометрии. Предпринимавшиеся ранее попытки такого выведения являются удостоверением, но не обоснованием. Напротив, истинность эмпирических, или прикладных, дисциплин может быть обоснована истинами теоретических, или понятийных, наук. Так, закон гравитации, полученный эмпирическим путем, в дальнейшем может быть выведен априорно из теоретической физики (см. 17, 27). Больцано, конечно, не считает, что все эмпирические законы и положения должны быть выведены в конце концов из априорных оснований. Для эмпирических наук объективным основанием могут быть и эмпирические истины. Так, в астрономии, химии, утверждает он, состоящих частью из эмпирических, частью из понятийных истин, имеются основания, которые, хотя и являются по своей природе чистыми априорными истинами, не могут быть доказаны на основе одних чистых понятий и предложений, а требуют опытного подтверждения (см. 21,
