Применение математики в философии у Больцано не носит того искусственного характера, который был присущ системе Спинозы, но и оно имеет свои недостатки. Онтологические проблемы часто переводятся в математические, а ряд математических вопросов, требующих лишь ее собственных методов, обсуждаются при помощи философских спекуляций. Все же стремление Больцано к широким обобщениям в математике и к строгости, точности философского рассуждения принесло значительно больше пользы, чем вреда.
Как указал советский логик Н. И. Стяжкин, при доказательстве существования бесконечного числа истин Больцано фактически использует аргументацию, примененную Платоном («Парменид») при выведении натурального ряда чисел. Допуская наличие единицы, мы полагаем и наличие существования единицы, которое отлично от самой единицы, как понятие от своего объекта. «Единица» и «существование» являются уже «двумя» предметами. Так выводится число «два». Подобным же образом выводятся «три», «четыре» и другие числа натурального ряда (см. 29, 146. 30, 287).
Из математики Больцано переносит в философию способ доказательства от противного, основанный на допущении истинности утверждения, противоположного доказываемому тезису. Он называет его апагогическим доказательством и использует, например, в опровержении агностицизма Канта (см. 21, 1, 196). Кант пытается доказать невозможность познания сущности вещей, поставить границы нашей способности к познанию мира. Для чешского мыслителя не существует границ познания. Определение границ способностей к познанию для прошлого и настоящего бессмысленно, утверждает он. Если мы сейчас не можем чего-то познать, это не означает, что мы этого не сможем и в будущем. Границы познания постоянно изменяются. Если мы говорим о непознаваемости предмета, то мы сами себе противоречим. Говоря о существовании предмета познания, мы уже знаем о нем нечто, знаем по крайней мере, что он имеет общего с другими предметами (см. 21, 3, 235). Больцано отвергает существование границ познания не только чистых, теоретических понятий математики и логики, но также и эмпирических, или смешанных, понятий; для подтверждения своей точки зрения он обращается к практике научного познания, к истории науки. Некоторые проблемы математики, говорит он, оставались неясными в течение столетий, но в конце концов решение находилось. Например, длительное время не могли выяснить, является ли отношение диаметра круга к его длине рациональным числом? Что касается эмпирических понятий, то Больцано указывает на постоянное расширение нашего знания в области опытных наук. Иллюстрируя возможности расширения эмпирического знания, он приводит хотя и несколько наивный, но достаточно убедительный пример: до сих пор, говорит он, мы не знаем, что собой представляют жители Луны; однако кто может сказать, что мы никогда не будем этого знать? (см. там же, 237). В эпоху Больцано агностицизм имел довольно значительное число защитников. Так, известный философ, один из основоположников позитивизма, О. Конт, пытался доказать, что мы никогда не узнаем химический состав вещества Солнца. Но прошло совсем немного времени, и благодаря открытию спектрального анализа эту тайну раскрыли.
