. Действительно, каждому решению (x>1,y>1) системы (2) можно поставить во взаимно однозначное соответствие решение (x>2,y>2)=(y>1,x>1) системы
x-y = 2>n-i
π(x) - π(y) = 2>n-j
если домножить на –1 оба уравнения (2).
Из системы (2) очевидно вытекает, что число ее решений равно числу значений y, при которых
π(y+i) - π(y) = j (3)
Если каждому решению (x>1,y>1) системы (2) поставить во взаимно-однозначное соответствие пару (x>2,y>2) = (π>-1(x>1),π>-1(y>1)), то такая пара будет решением системы
x-y = j (4)
π>-1(x) - π>-1(y) = i
Следовательно, число решений системы (2) будет равно числу значений y, при которых
π>-1(y+j) - π>-1(y) = i (5)
Из (3) очевидно вытекает, что сумма всех элементов p>ij в i-ой строке при любом i равна 2>n. Аналогично, из (5) вытекает, что сумма всех элементов p>ij в j-ом столбце при любом j равна 2>n.
Поскольку размер P(π) равен (2>n-1)x(2>n-1), то из условия, что сумма всех элементов p>ij в i-ой строке при любом i равна 2>n следует, что если бы P(π) не содержала нулей, то в любой ее строке все элементы были бы равны 1, кроме одного, равного 2. Аналогично получаем, что в этом случае в любом столбце должны быть все элементы 1, кроме одного, равного 2.
Если при некотором y выполняется
π(y+2>n-1) - π(y) = 2>n-1, (6)
то, поскольку 2>n–2>n-1 = 2>n-1, то (6) будет справедливо и при значении y>1 = y+2>n-1. Таким образом, элемент p>(2>n-1>)(2>n-1>) не может быть нечетным.
Предположим, что некоторая i-я строка целиком ненулевая. Это означает, что среди значений j>0,j>1,…,j>2>n>-1, получаемых по формуле
j>k =π(k+i)- π(k) (7)
содержатся все ненулевые элементы из Z/2>n, а какой-то один элемент встретился ровно 2 раза.
Просуммируем соотношение (7) по всем k от 0 до 2>n-1. Поскольку π - подстановка, то в правой части суммы получается 0, следовательно, сумма всех значений j>k также должна быть нулевой.
Но среди j>0,j>1,…,j>2>n>-1 содержатся все ненулевые элементы из Z/2>n, а какой-то один элемент встретился ровно 2 раза. Поскольку сумма (по модулю 2>n) всех ненулевых элементов кольца Z/2>n равна 2>n-1(2>n-1) = 2>n-1, то элементом, встретившимся два раза, должно быть 2>n-1.
Тогда, в силу свойства p>ij = p>(2>n>-i)(2>n>-j) для любого значения i должно выполняться
p>i2>n-1 = p>(2>n>-i)2>n-1 = 2
и при i≠2>n-1 получается, что в 2>n-1 столбце как минимум 2 элемента равны 2. Следовательно, если некоторая i-я строка при i≠2>n-1 целиком ненулевая, то 2>n-1 столбец заведомо содержит хотя бы один нулевой элемент, т.е. множество (Gπ)2 не является 2-транзитивным ни при какой подстановке π.
