Криптография и свобода | страница 84

составляет 256! – совершенно фантастическое число. Введение подстановки в регистр сдвига, работающий с байтами, а не с битами, переворачивает все привычные методы криптографического анализа. Совершенно другие операции, а следовательно, нужны и другие подходы к анализу и оценке стойкости таких схем, чем те, которые использовались в традиционных двоичных «балалайках».

С чего начала кафедра математики на 4 факультете? С самого простейшего преобразования, осуществляемого с n-мерными двоичными векторами, с преобразования типа (Gπ)^>k, где G – группа, порожденная циклическим сдвигом (G = , g =(0,1,…,2^>n-1)-циклическая подстановка), π - некоторая фиксированная подстановка из S_>2^>n, а k – некоторое целое число.

Если здесь перейти от математических терминов из теории групп к обычной криптографической терминологии, то преобразование типа (Gπ)^>k – это следующий узел.

Преобразования типа (Gπ)^>k - это, фактически множество подстановок вида g_>x1π g_>x2π… g_>xkπ, и задачей кафедры математики было обосновать какие-то свойства подобного множества, найти их зависимости от подстановки π. Типичная криптографическая ситуация – когда в таком узле входное слово x_>1,x_>2,…x_>k является ключевым параметром, требуется найти подходы к его определению по нескольким известным переходам в реализуемой подстановке.

Кафедра начала с изучения группы , т.е. группы, порожденной двумя подстановками: циклическим сдвигом g и фиксированной произвольной подстановкой π. Это естественное обобщение преобразования (Gπ)^>k, предельный случай. Свойства группы дают ответ на вопрос, что в принципе можно ожидать от нашего преобразования при увеличении длины k до бесконечности. Можем ли мы таким путем получить все подстановки или же есть какие-то запреты?

Оказалось, что если случайно и равновероятно выбрать из всей симметрической группы фиксированную подстановку π, то с вероятностью, близкой к 1, группа будет совпадать со всей симметрической группой, т.е. запретов не будет. Те подстановки π, для которых это не так, очень часто легко определяются, например, π=g, а также любая линейная подстановка, реализующая преобразование вида π(x) = ax+b, где a и b – фиксированные элементы из Z/2^>n.

Дальше, естественно, стали возникать вопросы: а как скоро мы сможем достичь симметрической группы? Какова будет мощность слоя (Gπ)^>k при некотором значении k, например, при k=2 или при k=3? При каком k множество (Gπ)^>k станет 2-транзитивным