К окончанию учебы относится первый опыт самостоятельной научной работы Хайяма в области математики, посвященный извлечению корня любой целой положительной степени n из целого положительного числа N. Первый трактат Хайяма до нас не дошел, однако имеются ссылки на его название – «Проблемы арифметики». Указывается, что в этом трактате Хайям на базе более ранних работ индийских математиков по сути дела предложил метод решения уравнений x>n = а (n – целое число). Кроме того, в трактате, по всей видимости, содержалось правило разложения натуральной степени двучлена (а + b)>n, то есть известная формула бинома Ньютона для натуральных показателей. Разумеется, пока рукопись «Проблем арифметики» не найдена, о ее содержании можно только догадываться, опираясь, прежде всего, на труды учеников и последователей Хайяма.
Вообще, математические сочинения Хайяма, дошедшие до наших дней, характеризуют его как выдающегося ученого. В трактате «О доказательствах задач алгебры и алмукабалы» он дал в геометрической форме систематическое изложение решения уравнений до третьей степени включительно. Трактат «Комментарии к трудным постулатам книги Евклида» содержит оригинальную теорию параллельных.
После окончания обучения Хайяму пришлось пережить ряд тяжелых испытаний. По каким-то причинам, возможно связанным с политическими событиями, он вынужден был покинуть Хорасан, и дальнейшие сведения о Хайяме связаны с Мавераннахром {17}, столицей которого был сначала Самарканд, а затем – Бухара.
Во времена Хайяма ученый мог заниматься наукой только при дворе того или иного правителя, занимая одну из четырех должностей – секретаря (дабира), поэта, астролога или врача. Было принято считать, что именно ученые царедворцы обеспечивают правителю прочность власти и ее великолепие. Вельможи XI века соперничали между собой в блеске своей свиты, переманивали друг у друга образованных придворных, а самые могущественные просто требовали передать в их распоряжение прославившихся ученых и поэтов.
Судьба ученого в значительной степени зависела от милости или немилости правителя, его нрава и капризов, от придворных интриг и дворцовых переворотов. Так что положение Хайяма во многом определялось чередой сменяющих друг друга покровителей, от которых он зависел, которых упоминал и благодарил в своих трудах. Первым из них был главный судья города Самарканда, которого Хайям превозносил как «славного и несравненного господина, судьи судей имама».
