Удовольствие от Х. Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мирe | страница 48

Когда вы оцените фокусирующую способность парабол и эллипсов, то удивитесь, что среди всех геометрических фигур больше практически ни одна не обладает подобными свойствами. Не лежат ли в их основе какие-то фундаментальные закономерности?

У математиков и сторонников теории заговора[18] много общего: мы не доверяем совпадениям, особенно удачным. Отрицаем случайности. Все имеет свою причину. Применительно к реальной жизни такой способ мышления, возможно, кажется несколько параноидальным, но для математика он совершенно нормален. В идеальном мире чисел и фигур странные совпадения обычно являются ключами к тому, чего мы не замечаем, и свидетельствуют о наличии скрытых закономерностей.

Итак, рассмотрим более подробно возможную связь между параболами и эллипсами50. На первый взгляд, они не похожи. Параболы имеют форму арки, вытянутой на обоих концах. У эллипсов овальная форма, и они напоминают раздавленные окружности, замкнутые и ограниченные.

Но как только вы выйдете за рамки стандартных представлений и исследуете анатомию этих фигур, то заметите, насколько они похожи. Обе принадлежат к королевской семье кривых; генетическая связь между ними становится очевидной, когда понимаешь, куда нужно смотреть.

Чтобы объяснить, как они связаны между собой, необходимо вспомнить, что в точности означают эти кривые.

Парабола обычно определяется как множество всех точек, равноудаленных от данной точки и данной прямой, не содержащей эту точку. Это труднопостигаемое толкование, но его довольно легко понять, если представить следующую картинку, при этом обозначив данную точку F как фокус, а прямую как L.

В соответствии с определением парабола состоит из всех точек, которые лежат на одинаковом расстоянии от F и L. Например, точка Р, находящаяся прямо под F на полпути к L, точно подходит под это определение.

Бесконечное множество других точек P_>1, P_>2, ... тоже подходят под него, как показано ниже.

Точка P_>1 расположена на одинаковом расстоянии d_>1 от прямой и фокуса. То же самое верно и для точки P_>2, но в этом случае имеется в виду некое расстояние d_>2. Все точки P с таким свойством образуют данную параболу.

Почему мы считаем F фокусом, становится ясно, если представить параболу как кривое зеркало. Оказывается (хотя я не стану это доказывать), если направить луч света прямо на параболическое зеркало51, все отраженные лучи пересекутся в одной точке F, создавая сильно сфокусированное пятно света.

По такому же принципу работали старые лампы для загара, под которыми предыдущее поколение жарилось в те далекие времена, когда никто не беспокоился о раке кожи.