Удовольствие от Х. Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мирe | страница 38

= 10^>x, то есть 10 возведено в степень х. Не путайте ее с ранее рассмотренными степенными функциями. Здесь показатель (степень х) является переменной, а основание (число 10) постоянной, тогда как в степенной функции, подобной х^>2, все наоборот. Такая перемена мест (переменной и константы) приводит к огромной разнице между этими функциями: при увеличивающемся значении x экспоненциальная функция с показателем x в конечном итоге растет быстрее любой степенной функции, независимо от ее степени. Экспоненциальный рост — невообразимо быстрый рост.

Вот почему так трудно сложить лист бумаги пополам больше семи-восьми раз41. Каждое сложение листа удваивает его толщину, что приводит к ее (толщины) увеличению в геометрической прогрессии. В то же время длина, каждый раз сжимаясь пополам, уменьшается по экспоненциальному закону. После семи сложений толщина стандартного листа из записной книжки становится больше его длины, и поэтому дальше его складывать нельзя. Причем неважно, сколько усилий прикладывает человек при складывании. Предположим, лист можно сложить n раз — в результате стопка должна иметь 2^>n слоев. Здесь не может быть линейной зависимости, и еще одно сложение невозможно, если толщина стопки больше ее длины.

Задача считалась нерешаемой, пока в 2002 году Бритни Галливан, ученица старшего класса средней школы, не доказала обратное. Сначала она вывела формулу

L =

(2^>n + 4) (2^>n – 1),

которая позволяла посчитать максимальное количество сложений n, где Т — толщина листа бумаги, L — его длина, и складывается он только в одном направлении. Обратите внимание на запрещающее присутствие экспоненциальной функции 2^>n в двух местах: первый раз для учета удвоения толщины пачки при каждом сложении, а во второй — чтобы учесть двукратное сокращение ее длины.

Используя свою формулу, Бритни пришла к выводу, что ей понадобится специальный рулон туалетной бумаги почти в три четверти мили длиной. Она купила бумагу и в январе 2002 года отправилась в торговый центр в своем родном городе Помона, где и размотала ее. Семь часов спустя с помощью родителей девочка побила мировой рекорд, сложив бумагу двенадцать раз!

В теории также предполагается, что экспоненциальный рост увеличит ваш банковский счет. Если ваш вклад растет с годовой процентной ставкой, равной r, то через год сумма увеличится в (1 + r) раз от первоначального размера вклада; после двух лет она вырастет в (1 + r)^>2 раз, а после х лет — в (1 +