Удовольствие от Х. Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мирe | страница 12

Однако это не значит, что на основании данной теории можно делать прогнозы. Это не так. Подобный подход не позволяет объяснить все тонкости изменений в геополитике. Но некоторые из наблюдаемых нами явлений происходят в соответствии именно с примитивной логикой «враг моего врага» и отлично подпадают под умножение отрицательных чисел. Отделяя важное от незначительного, арифметика отрицательных чисел может помочь нам отыскать настоящие загадки.

4. Коммутативность: перемена мест сомножителей

Приблизительно каждые десять лет появляются новые методы преподавания математики, что лишний раз заставляет родителей почувствовать себя отставшими от жизни. Еще в 60-е годы прошлого века мои родители были в шоке оттого, что не могли мне помочь выполнить простое домашнее задание — они никогда не слышали о троичной системе счисления и диаграммах Эйлера-Венна.

Сегодня ситуация не изменилась. «Папа, ты можешь показать мне, как делать эти примеры на умножение?» «Конечно могу», — само­надеянно заявил я, пока не довел дочь до истерики. «Нет, папа, сейчас это делают не так! Это устаревший способ! Разве ты не знаешь умножения методом решетки? Нет? Ну а как насчет частичных произведений?»

Эта унизительная ситуация побудила меня пересмотреть процесс умножения с самого начала9. И оно, как только вы вникнете в него глубже, действительно оказывается очень тонкой вещью.

Возьмите, например, терминологию. Равно ли трижды семь сумме трех по семь? Или сумме семи по три?

В некоторых культурах язык менее неоднозначен. Один мой друг из Белиза привык читать таблицу умножения так: «Семь один раз — это семь, семь дважды — четырнадцать, семь трижды — двадцать один» и так далее. Такая формулировка позволяет понять, что первое число это множимое, а второе — множитель. Аналогичная игра слов есть и в бессмертных стихах песни Лайонела Ричи[3] «Она однажды, дважды, трижды леди». (Слова «Она леди три раза» никогда не стали бы хитом.)

Может быть, вся эта суета вокруг семантики кажется вам глупой, так как порядок, в котором числа перемножаются, не имеет никакого значения, то есть в любом случае 7 × 3 = 3 × 7. Хорошо, но тут напрашивается вопрос, на котором я хотел бы остановиться подробнее. Является ли этот переместительный (коммутативный) закон умножения a × b = b × a действительно таким очевидным? Помню, меня еще в детстве он удивил, возможно, и вас тоже.

Чтобы привнести немного магии, представьте себе, что вы не знаете, чему равно 7 × 3, и поэтому складываете семерки: 7, 14, 21. Теперь поменяйте местами сомножители и складывайте тройки, получается 3, 6, 9, ... . Чувствуете ли вы все нарастающее недоумение? До сих пор ни одно из чисел в этих перечнях не совпало, но пройдем дальше ... 12, 15, 18, и затем — ах! — 21.