Гравитация. От хрустальных сфер до кротовых нор | страница 68

Необходимо перейти к измерениям в малой окрестности мировой точки {к бесконечно малым величинам). Тогда квадрат интервала пространства Минковского между двумя бесконечно близкими точками перепишется как квадрат элемента интервала (уже бесконечно малой величины) в виде:

Элемент пространства Минковского имеет такой простой вид ещё и потому, что здесь используются координаты Лоренца, то есть декартовы координаты в совокупности с временной координатой. Этот же квадрат элемента интервала (часто его все равно называют «интервал») может быть записан в более формальном виде:

Здесь a, b = 0,1,2,3; a нулевой координате обычно приписывают смысл временной, умноженной на скорость света: x^>0= ct Величина η_>ab является диагональной (отличны от нуля только элементы на диагонали) матрицей 4x4,

и называется метрикой Минковского. формальная запись интервала перейдёт в уже привычную, если использовать простое правило суммирования по повторяющимся индексам, например: т_>aп^>a= т_>0п^>0+ m_>1п^>1+ т_>2п^>2 + т_>3п^>3. Метрика η_>ab)задаёт способ измерения расстояний в пространстве Минковского в лоренцевых координатах.

Давайте «искривим» координаты (сделаем их произвольное преобразование), тогда интервал примет вид:

Величина g_>ab также называется метрикой и фактически задаёт способ измерения расстоянии в пространстве Минковского, но в тех координатах, в которых она определена.

Важно отметить, что элемент ds, так же как и сам интервал, инвариантная величина, то есть его значение остаётся тем же в любых координатах, Метрика g_>ab — это тоже матрица 4x4, но теперь в общем случае она уже не диагональна, её компоненты g_>00, g_>01, g_>11, g_>12… могут быть какими‑либо функциями времени и пространственных координат, см. Дополнение 1.

В искривлённом пространстве–времени способ измерения расстояний между мировыми точками такой же, как в плоском в криволинейных координатах — с помощью элемента интервала. Разница в том, что для пространства Минковского возможен переход от g_>ab к простому диагональному виду η_>abво всем пространстве–времени, а для искривлённого — нет. Однако в малой окрестности отдельного свободно падающего наблюдателя такой переход возможен. Ведь согласно слабому принципу эквивалентности он ощущает себя в инерциальной системе отсчёта! Искривление не позволяет связывать мировые точки прямыми, поэтому мировые линии (геодезические или нет), соединяющие события, будут в общем случае кривыми. Их длина вычисляется с помощью бесконечно малых элементов интервала и последующего интегрирования.