Многие математики ненавидели идеи кантора, но Гилберту они нравились, и он активно их защищал. «Никто», — заявлял он — «не сможет изгнать вас их рая, который создал Кантор». Это конечно же было настолько парадоксально как и сам рай. Гилберт объяснял некоторые их парадоксальных свойств бесконечности в терминах вымышленного отеля, теперь известного как отель Гилберта.
В отеле Гилберта находится бесконечное число номеров. Все они пронумерованы: 1,2,3,4 и так до бесконечности. Это пример фактической бесконечности — каждый номер существует сейчас и номер под номером энный газилион и один ещё не построен. И вот когда один воскресным утром вы туда приезжаете, то выясняется что все номера заняты.
В отеле с фиксированным количеством номеров, даже если их миллиард миллиардов и еще одна, это будет проблемой. Никакое количество толкущихся вокруг людей не может создать дополнительную комнату (для упрощения задачи условимся, что нормы безопасности и здравоохранения не позволяют подселить в номер второго человека).
Однако, в отеле Гилберта всегда есть комната для еще одного постояльца. Не под номером «бесконечность»,конечно, такой комнаты просто нет. Под номером «один».
А что же делать невезучему из первого номера? Он переезжает в комнату номер «2». Постоялец второй комнаты переезжает в третью, и так далее. Постоялец миллиард- миллиардной комнаты переезжает в комнату «миллиард-миллиардная и один», а хозяин миллиард-миллиардной и один — в миллиард-миллиардную и два. Постоялец комнаты под номером «N» просто переходит в комнату «N+1», и это работает для любого числа N.
В отеле с конечным числом комнат такая штука не прокатит. В нем нет комнаты под номером «миллиард-миллиардная и два», в которую мог бы переселиться постоялец из миллиард-миллиардной и один. В отеле Гилберта комнат бесконечное множество, поэтому каждый может переместиться в соседний номер. Как только это действие совершено, отель снова заполнен доверху.
Но это ещё не всё. В понедельник в совершенно полный отель Гилберта приезжает группа туристов. И нет проблем: управляющий переселяет всех на пятьдесят номеров вперёд. — номер 1 в 51, номер 2 — в 52, и так далее, в результате чего номера с 1-50 остаются свободными для всех туристов.
Во во вторник прибывает бесконечно большая группа туристов, содержащая бесконечное число людей, услужливо пронумерованных A1, A2, A3… Уверены, что на них не хватит номеров? Однако они есть. Уже поселенные гости переселяются в номера с чётными: гость из первого номера переезжает во второй, гость из второго номера переезжает в четвёртый, гость из третьего переезжает в шестой. и так далее. Затем, когда освободятся нечётные номера их занимают новоприбывшие гости: A1 отправляется в 1 номер, A2 отправляется в 3 номер, A3 отправляется в 5 номер. Ничего сложного.
