В конце вы получите дом, который не развалится. Хотя большую часть времени, потраченного на его стройку, он выглядел бы совершенно не вероятным. Но строители, в азарте возводя стены вверх и заполняя комнаты предметами интерьера, были слишком заняты чтобы это заметить пока строительные инспекторы не ткнули их носом в структурные недостатки.
Когда возникают новые математические идеи, никто не понимает их достаточно хорошо, что в принципе нормально, поскольку они новые. И никто не делает больших усилий чтобы разобраться во всех логических деталях, пока не убедится что идея будет стоящая. Таким образом, основные направления исследований состоит в развитии этих идей, если они ведут к чему-нибудь интересному. Для математика «интересно» в основном означает «могу я найти способы протолкнуть все это дальше?», но лакмусовой бумажкой в этом случае является вопрос «какие проблемы это сможет решить?» Только после получения удовлетворительных ответов на оба эти вопроса несколько упорных и педантичных душ спускаются в подвал решают проблему достойного основания.
Математики использовали бесконечность задолго до того как догадались что это такое и как использовать её на благо. В V в. до н. э., Архимед, выдающийся греческий математик и серьезный претендент на призовое место среди самых выдающихся учёных все времён, разработал способ нахождения объема сферы при помощи (концептуальной) нарезки её на бесконечное число бесконечно тоненьких дисков, подобно тонко-тонко нарезанному хлебу, затем взвешивая их чтобы сравнить их общий объем с объемом подходящего тела, который он уже знал. Как только он получит ответ при помощи этого удивительного метода, он вернулся к началу и нашёл логически приемлемый способ доказать свою правоту. Но без всей этой возни с бесконечностью, он не узнал бы где начать, а его логическое основание так и не сдвинулось бы с мертвой точки.
Ко времени Леонарда Эйлера, настолько продуктивного автора, что его можно считать Терри Пратчеттом математики восемнадцатого века, многие из ведущих математиков возились с «бесконечными рядами» — кошмаром любого школьника о сумме, которая никогда не заканчивается. Вот например:
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 +…, где двоеточие означает «и так далее». Математики пришли к выводу, что эта сумма не сводится ни к чему толковому, хотя в результате должна составлять два.[61] Если вы остановитесь на каком-либо конечном этапе, то получите нечто меньшее чем два. Но сумма отставания продолжает уменьшаться. Сумма вроде как подбирается к правильному ответу, но в действительности его не достигает. Однако то количество, на которое отстаёт можно можно сократить насколько позволит ваше желание и время.
