Хотя считается, что математиков во всем интересует точность, иногда они согласны и на меньшее. Знать, что значение R (5,5) лежит между 43 и 39, почти так же хорошо, как, скажем, установить, что оно равняется 46. (Если вдруг впоследствии окажется, что это правильный ответ, обязательно потребую признать себя автором великого открытия!) Но в одной конкретной рамсеевской задаче эта терпимость к неточностям приводит к смехотворным результатам.
Наряду с подграфами, которые содержатся в полных графах, нарисованных на плоскости (как в вышеописанных примерах), теория Рамсея может задаваться вопросами касательно подграфов, находящихся в трехмерных полных графах. Например, нарисуйте восемь точек на плоскостях близ угла куба и соедините их все между собой — вы получите множество линий, среди которых будут попадаться разнообразные более простые фигуры. Теперь можно задавать вопросы касательно отдельных подграфов в этом полном графе, включая те, что лежат на плоскости. Все треугольники, разумеется, окажутся на плоскости, но подграфы из четырех и более точек — необязательно.
Для математиков, занимающихся теорией Рамсея, двух- и трехмерные фигуры — детский сад. Рамсеевская задача с самым неточным в мире ответом имеет дело с полными графами более высоких измерений. Обрисую вопрос в общих чертах, даже не пытаясь объяснить его. (Вам нужно только знать, что гиперкуб — это существующий в многомерном пространстве эквивалент двухмерного квадрата или трехмерного куба.) Итак, задача: каково минимальное количество измерений гиперкуба, чтобы получился полный граф с четырьмя точками, лежащими в одной плоскости, — при условии, что все линии, соединяющие все пары углов, двухцветные?
Еще никому не удалось ответить на этот вопрос, однако американский математик Рональд Льюис Грэм (р. 1935) нашел верхнюю границу ответа. Как 49 для R (5,5), верхняя граница — это число, для которого вы можете доказать, что оно больше правильного ответа либо равно ему.
Грэмовская верхняя граница являет собой столь огромное число, что для его записи потребовалась бы особая система счисления. И запись даже в такой системе счисления оказалась бы слишком длинной, чтобы включать ее в книгу. Достаточно лишь сказать следующее: число это столь огромно, что, если бы вся материя во Вселенной превратилась в перья и чернила, ее все равно не хватило бы, чтобы записать полученное значение в десятичной системе счисления.
И вот что самое забавное во всей этой истории: как было недавно подсчитано, правильный ответ может оказаться совсем не таким уж внушительным. Например, он вполне может равняться 11.
