Однако чтобы понять, почему в математике важна точность, особых знаний не требуется. Иногда привычный нам способ смотреть на вещи может завести в тупик (даже на уровне школьного курса математики). Вот вам, к примеру, доказательство, что 3 = 4.
Допустим:
а + b = с
Это выражение также можно записать следующим способом:
4а − 3а + 4b − 3b = 4с − Зс
(Потому что 4а − 3а — это просто «а», 4b − 3b — просто «b», и так далее.)
Преобразуем получившееся равенство:
4а + 4b − 4с = 3а + 3b − Зс
(Переносить элементы из одной части равенства в другую разрешается, если при этом вы не забываете сменить знак на противоположный, то есть с минуса на плюс и наоборот. Так, например, 4х − 3 = 0 можно иначе выразить как 4х = 3, переместив -3 в другую часть равенства и сменив знак на плюс. Это то же самое, что добавить одно и то же число, +3, к обеим частям равенства. Если добавить к обеим частям равенства одинаковое число, равенство сохраняется.)
Теперь преобразуем пример следующим образом, то есть вынесем общий множитель за скобки:
4 (а + b − с) = 3 (а + b − с)
Разделим обе части на (а + b − с) и придем к выводу, что 4 = 3.
В основе этого ложного умозаключения лежит ошибка, которую может совершить каждый, кто не очень чуток к законам арифметики. Столкнувшись с подобной головоломкой, многие из нас предпочитают руководствоваться здравым смыслом, а не блестящими образцами доказательств, порожденных научной мыслью. Мы уподобляемся госпоже Ла Туш, даме, жившей в Викторианскую эпоху и известной лишь тем, что однажды она изрекла: «Ненавижу сложение. Нет большего заблуждения, чем называть арифметику точной наукой. Сплошные пермутации и аберрации, различимые лишь для таких благородных умов, как мой; неприметные вариации, которых простой бухгалтер и не увидит; скрытые законы чисел, которые требуют недюжинных умственных способностей, вроде моих. К примеру, если вы сложите слагаемые, расположенные столбиком, снизу вверх, а потом сверху вниз, — результат всегда получится разный»[23].
А все началось с обеда…
Математика имеет каверзное свойство очень быстро все усложнять и запутывать. Казалось бы, начали вы разбирать простую и всем понятную задачку, и вот — оглянуться не успели, как все вышло из-под контроля, а у вас от напряжения мозг свело.
Рассмотрим одну из таких задачек. На обеде, куда приглашены шестеро гостей, либо трое из них уже знакомы друг с другом, либо трое совершенно друг друга не знают. Докажите это.
