Есть две интеллектуальные школы, которые подходят к проблеме возникновения систем мышления, в том числе и математического, с противоположных концов. Несколько упрощая, эти два крайних подхода можно определить следующим образом.
1. Первый подход основан на метатеоретическом допущении, что любая система мышления покоится на несводимых друг к другу постулатах, принимаемых на веру. Тогда все следствия из манипуляций думающей машины с данными, извлеченными из внешней реальности или из собственной памяти, являются лишь разработкой, комбинированием и вариациями на темы исходных постулатов. Такой подход можно назвать формалистическим. Из такого подхода следует, что при использовании достаточно тонких методов, можно добраться до исходных постулатов, которые мотивируют, направляют и определяют работу ума. Можно ввести еще одно метатеоретическое допущение, состоящее в том, что если выявлен набор всех базовых постулатов, то это дает возможность объяснить поведение, порождаемое соответствующим умом. (Уайтхед и Рассел, 1927; Карнап, 1942; Тарский, 1946).
2. Второй подход сводится к предположению, что системы мышления возникают из интуитивного, сущностно непознаваемого субстрата ментальных операций (Гильберт, 1950). Эта школа заявляет, что новые виды мышления проистекают из неизвестных источников, и что ближе мы не способны подойти к основным допущениям, на базе которых работают системы мысли. Такие допущения, с этой точки зрения, остаются навсегда недоступными тому, кто мыслит. Такое метатеоретическое допущение дает основание предположить, что в будущем могут появиться системы мышления, которые в настоящее время совершенно невозможно предсказать.
3. Между этими двумя крайностями имеются промежуточные позиции, в которых допускается существование обеих возможностей, где каждая вносит свой вклад. Это позволяет выбрать способ мышления, который будет использоваться субъектом формального анализа и синтеза после того, когда выбраны основные допущения. Но этим, естественно, не исчерпываются все средства мышления. Некоторые из них продолжают опираться на известные методы, источники и сферы применения. Метатеоретическая позиция обеспечивает выбор каких-то формализуемых видов мышления из огромной вселенной других возможностей. Такая позиция не утверждает, что происхождение основных допущений может быть точно установлено. Однако, когда эти допущения удается обнаружить, можно построить соответствующее множество правил их комбинирования для ограниченного использования в пределах выбранной системы с тем, чтобы получались внутренне согласованные результаты. Такое построение ограниченной интегральной системы мышления, где указаны основные допущения, соответствующие ей, одновременно является и методом определения границ этой интеллектуальной территории.
