α + β + γ – π = Οлощадь / (Радиус сферы)>2 = A / R>2
В этой формуле все углы берутся в радианах. в случае рассмотренного земного треугольника мы, кстати, имеем
α = β = γ = 90° = π/2
оттуда
A = R>2 (3π/2 – π) = πR>2/2 = 4πR>2/8
Площадь, как мы видим, становится равной одной восьмой всей сферической поверхности. Действительно, треугольник с тремя прямыми углами занимает один октант сферы. Приведенную формулу можно представить в следующем виде:
1 / R>2 = (α + β + γ – π) / Площадь
по этой формуле можно вычислить 1/R>2, т.е. «гауссову кривизну», зная площадь треугольника и его углы, т.е. величины, которые можно измерить, просто гуляя по Земле, не привлекая никаких сведений о внешнем пространстве.
Все эти представления были обобщены Риманом на случай пространств любой размерности; тогда место величины 1/R>2 занимает знаменитый тензор Римана, учитывающий изменение кривизны по всем направлениям.
Кривизна и материя
Выдающаяся идея Эйнштейна состояла в том, чтобы связать эту кривизну с распределением вещества в пространстве. Согласно Эйнштейну, пространство обладает кривизной, а мы до сих пор ее не замечали, потому что она мала и проявляется только через гравитационные эффекты.
Особенно наглядной является картина пространства, предложенная Эддингтоном. Он сравнивал пространство с хорошо натянутым эластичным полотнищем, которое в нормальном состоянии лежит целиком в плоскости. Если положить на полотнище тяжелые шары (символизирующие небесные тела), то оно искривится, изменив при этом свою геометрию. Каждый из двух находящихся рядом шаров стремится скатиться в яму, образованную соседом. Так, через посредство полотнища между шарами появляется сила взаимодействия, аналогичная силе тяготения. Действительно, в общей теории относительности силы тяготения возникают за счет искривления окружающего пространства. Между кривизной пространства и распределением вещества существует соотношение вида 1/R>2 = (G/c>2)·ρ.
В этой формуле G представляет универсальную гравитационную постоянную, с – скорость света (около 300000 км/с), и G/c>2 приблизительно равно 10...27 см/г. Плотность ρ измеряется в граммах на кубический сантиметр, так что правая часть соотношения измеряется в см>–2, как и кривизна. Приведенная формула, по существу, представляет собой основной результат, полученный из уравнений поля Эйнштейна (если не считать длинного ряда тензорных индексов, от перечисления которых мы избавим читателя). Плотность воды соответствует кривизне
