Живая математика. Математические рассказы и головоломки | страница 16

8247 - 2748 = 5499;

если зачеркнута цифра 4, то, зная цифры 5,9,9, вы соображаете, что ближайшее к 5 + 9 + 9, т. е. 23, число, делящееся на 9, есть 27. Значит, зачеркнутая цифра 27-23 = 4.

Вы предлагаете товарищу задумать трехзначное число, не оканчивающееся нулем, такое, в котором крайние цифры разнятся больше чем на 1, и просите затем переставить цифры в обратном порядке. Сделав это, он должен вычесть меньшее число из большего и полученную разность сложить с нею же, но написанною в обратной последовательности цифр. Ничего не спрашивая у загадчика, вы сообщаете ему число, которое у него получилось в конечном счете.

Если, например, было задумано 467, то загадчик должен выполнять следующие действия:

Этот окончательный результат - 1089 - вы и объявляете загадчику. Как вы можете его узнать?

Рассмотрим задачу в общем виде. Возьмем число с цифрами а, b, с. Оно изобразится так:

100а + 10 b + с.

Число с обратным расположением имеет вид:

100с + 10 b + а.

Разность между первым и вторым равна:

99а - 99с.

Делаем следующие преобразования:

99 а - 99 с = 99 (а - с) = 100 {а - с) - а + с = 100(а - с) - 100 + 100 - 10 + 10 - а с = 100 (а - с - 1) + 90 + (10 - а + с).

Значит, разность состоит из следующих трех цифр:

цифра сотен: а - с - 1,

«десятков: 9,

«единиц: 10 + с - а.

Число с обратным расположением цифр изображается так:

100(10 + с - а) + 90 + (а - с - 1).

Сложив оба выражения

100 (а - с - 1) + 90 + 10 + с - а 100(10 + с - а) + 90 + а - с - 1,

получаем

100 х 9 + 180 + 9 = 1089.

Каковы бы ни были цифры а, Ь, с, в итоге выкладок всегда получается одно и то же число: 1089. Нетрудно поэтому отгадать результат этих вычислений: вы знали его заранее. Понятно, что показывать этот фокус одному лицу дважды нельзя - секрет будет раскрыт.

Для выполнения этого остроумного фокуса необходимо подготовить три какие-нибудь мелкие вещицы, удобно помещающиеся в кармане, например карандаш, ключ и перочинный ножик. Кроме того, поставьте на стол тарелку с 24 орехами; за неимением орехов годятся шашки, кости домино, спички и т. п.

Троим товарищам вы предлагаете во время вашего отсутствия в комнате спрятать в карман карандаш, ключ или ножик, кто какую вещь хочет. Вы беретесь отгадать, в чьем кармане какая вещь.

Процедура отгадывания проводится так. Возвратившись в комнату после того, как вещи спрятаны в карманах товарищей, вы начинаете с того, что вручаете им на сохранение орехи из тарелки.