Пользуясь медицинской терминологией, можно сказать, что Гёдель использовал в качестве скальпеля для вскрытия аксиоматики теории множеств так называемое «арифметическое утверждение G» (означающее в переводе на обычный, нематематический язык, что некоторое утверждение является недоказуемым) в сочетании с приемом его отображения. Гёдель перевел G-утверждения на язык арифметики и получил следующий замечательный результат: любая согласованная формальная математическая система, включающая в себя все правила арифметики, содержит в себе математический эквивалент G-утверждения и, следовательно, является несогласованной, т. е. в ней существуют утверждения, которые одновременно невозможно доказать или опровергнуть данным набором правил. Это открытие было сформулировано им в виде двух «теорем о неразрешимости», имеющих следующий вид:
1. Если аксиоматическая теория множеств является согласованной, то в ней существуют теоремы, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть.
2. Не существует конструктивной процедуры, позволяющей доказать согласованность аксиоматической теории множеств.
Естественно, что используемый для доказательства математический аппарат был достаточно сложным, однако полученные результаты были точными и проверяемыми. Более того, Гёдель показал, что если в какую-либо арифметическую систему вводятся некие новые идеи, позволяющие сделать G-утверждения доказуемыми, то в новой, расширенной системе вновь возникнут новые, свои собственные G-утверждения!
Кроме того, Гёдель придал концепции «согласованной арифметической системы» точную математическую форму и показал, что ее нельзя строго обосновать, т. е. каждая такая система будет включать в себя некоторые истинные высказывания, которые не могут быть доказаны, и, следовательно, каждая такая система будет неполной.
***
Гильберт утверждал, что в его науке нет места неопределенности и «каждая математическая задача может быть решена чисто математическими приемами и рассуждениями… поскольку в математике нет места неясности, ignorabimus». Гёдель доказал, что Гильберт ошибался и ни одна, даже самая сложная математическая система не может быть согласованной. Математика оказалась гораздо сложнее языка, используемого для ее описания, точно так же, как человеческие опыт и жизнь постоянно оказываются более сложными и неоднозначными, чем языки, используемые людьми для их описания.
Один из крупнейших специалистов в теории чисел, Герман Вейль когда-то остроумно заметил, что «…Бог существует, поскольку математика явно непротиворечива, но существует и дьявол, поскольку мы не можем доказать эту непротиворечивость». Гильберт был даже более последовательным и завещал, чтобы на его могильной плите было написано: «Мы должны знать и мы обретем знание».
