Гипотеза Таниямы-Симуры заключалась в том, что такие модулярные формы, представляющие собой, строго говоря, довольно редкий тип объектов, имеют отношение к одной из самых старых и тщательно изученных областей математики, а именно к теории эллиптических кривых, и описывают эти кривые уравнениями, с которых вот уже сотни лет студенты начинают изучение высшей математики. Не имея никаких доказательств и полагаясь в основном лишь на интуицию Таниямы, они предположили, что каждому набору эллиптических уравнений должен соответствовать, подобно отражению в зеркале, некий набор или ряд модулярных форм. Другими словами, каждая конкретная модулярная форма, заданная на комплексной плоскости в гиперболическом четырехмерном пространстве, содержит в себе набор всех решений какой-то конкретной системы эллиптических уравнений.
Из этого логически вытекало, что любое эллиптическое уравнение должно входить в состав какой-то модулярной формы, в противном случае уравнение не имело бы права на существование. Честно говоря, математическая общественность встретила гипотезу с удивлением, недоумением и явной подозрительностью. Интуитивно казалось, что это предположение, названное позднее предположением Таниямы-Вейля-Симуры, вследствие разгоревшейся дискуссии о приоритете, действительно может стать ключом к доказательству теоремы Ферма, однако долгое время никому не удавалось доказать само утверждение и связать его строгим образом с теоремой. Ситуация изменилась лишь в 1984 г., когда немецкому математику Герхарду Фрею удалось найти преобразование любой тройки пифагоровых чисел в соответствующее эллиптическое уравнение. При этом Фрей полагал, что теорема Ферма является неверной, т. е. полученное Фреем уравнение было прямо противоположно по смыслу утверждению Ферма. Если это эллиптическое уравнение было точным, то ему, по идее Таниямы-Симуры, должна была соответствовать некоторая модулярная форма, что и опровергало теорему Ферма (разумеется, при условии справедливости самой гипотезы японских математиков!). Именно это рассуждение вызывало интерес Уайлса и позволило ему связать воедино все результаты.
Для удобства читателя мы перечислим основные положения. Ферма утверждал, что не существует чисел п › 2, образующих пифагоровы тройки чисел, и он может доказать это каким-то удивительно простым способом. Японский математический дуэт предположил, что каждому эллиптическому уравнению соответствует эквивалентная модулярная форма. Фрей, считая теорему Ферма неверной, т. е. допуская наличие чисел
