Путешествия по кристаллу и непрерывное черчение (161–170)
– Чем вас так заинтересовала эта муха на кристалле?
– Своим странным поведением: она ходит по кристаллу, право, не без системы. Посмотрите, она путешествует только по ребрам и не ступает по граням. Что за охота ей ходить по острым ребрам, когда рядом сколько угодно плоских мест?
– Мне кажется, дело довольно просто. Чем склеены у вас грани кристалла?
– Вы подозреваете, что в клее есть что-то сладкое, привлекающее муху? Кажется, вы правы; она действительно вылизывает хоботком ребра кристалла. Так вот почему она медленно и систематически переходит с одного ребра на другое!
Рис. 158. Муха на кристалле.
– И при этом на практике решает интересную задачу: обойти многогранник по его ребрам, не посещая дважды ни одного ребра.
– Разве это возможно?
– В данном случае вполне: ведь этот кристалл – восьмигранник.
– Да, октаэдр. И что же?
– У него на каждой вершине сходятся 4 ребра.
– Разумеется. Но какое отношение это имеет к нашей задаче?
– Самое непосредственное. Задача обойти все ребра многогранника, и притом не более чем по одному разу, разрешима только для тех многогранников, у которых в каждой вершине сходится четное число ребер.
– Вот как! Я об этом не знал. Почему же?
– Почему в каждой вершине должно сходиться именно четное число ребер? Очень просто. Ведь в каждую вершину надо попасть и надо из нее уйти, причем прийти по одной дороге, а уйти по другой, значит, нужно, чтобы в ней сходилась пара ребер. Если же, путешествуя по кристаллу, вы попадете на вершину вторично, если к ней ведет еще и третье ребро, то должно иметься непременно и четвертое, чтобы вы могли уйти с этой вершины, а не очутиться в тупике. Другими словами, число ребер, сходящихся в каждой вершине, должно быть парное, т. е. четное. Если хотя бы одна вершина многогранника имеет нечетное число сходящихся в ней ребер, то на такую вершину вы, конечно, можете, исчерпав все ведущие к ней парные ребра, попасть по последнему неиспользованному ребру, но покинуть эту вершину вам уже не удастся: путешествие здесь поневоле оборвется.
– Но ведь я могу просто не воспользоваться этим ребром, раз оно заведомо ведет в тупик!
– Тогда вы не выполните другого условия нашего путешествия: пройти по всем ребрам без исключения.
– Позвольте, но может же случиться, что это ребро как раз последнее и единственное, еще не пройденное. Тогда нет вовсе надобности покидать его: оно и будет конечной целью путешествия.
