Если величина n при тестировании алгоритма X достаточно велика, можно сказать, что влияние члена поглощается членом "n(^2^). Другими словами, при больших значениях n алгоритм O(n(^2^)+n) эквивалентен алгоритму O(n(^2^)). То же можно сказать и для n более высоких степеней. Так, для достаточно больших n влияние члена n(^2^) будет поглощено влиянием члена n(^3^). В свою очередь, влияние члена log(n) будет поглощаться влиянием члена n и т.д.
Из приведенного примера видно, что О-нотация подчиняется очень простым арифметическим правилам. Давайте предположим, что есть алгоритм, который выполняет несколько различных задач. Первая задача сама по себе принадлежит к классу О(n), вторая - к классу O(n(^2^)), а третья - к классу O(log(n)). Необходимо определить быстродействие алгоритма в целом. Ответом будет O(n(^2^)), поскольку к этому классу принадлежит доминантная часть алгоритма.
В этом и заключается первое замечание, касающееся выводов, следующих из О-нотации. Значения О большого являются репрезентативными для больших значений n. Для маленьких значений О-нотация не имеет смысла, а на общий результат оказывают влияние другие члены нотации. Например, предположим, что проводилось тестирование двух алгоритмов. На основе статистических данных были выведены следующие зависимости:
Быстродействие первого алгоритма = k1 * (n + 100000)
Быстродействие второго алгоритма = k2* n(^2^)
Пусть константы kl и k2 сравнимы по величине. Какой алгоритм лучше использовать? Если следовать О-нотации, то предпочтительнее будет первый алгоритм, поскольку он принадлежит к классу О(n). Тем не менее, если известно, что значение n в реальных условиях не будет превышать 100, более эффективным окажется второй алгоритм.
Таким образом, алгоритм нужно выбирать и с учетом его назначения - не только на основании О-нотации, но принимая во внимание время выполнения при средних значениях количества элементов (или, если угодно, условий использования), на которых алгоритм будет применяться. Следовательно, выбор алгоритма должен осуществляться только на основе измерения профилировщиком времени выполнения вашего приложения для ваших данных. Не полагайтесь ни на какие книги (в том числе и на эту), верьте только измеренному времени.
Лучший, средний и худший случаи
Помимо всего прочего, необходимо рассмотреть еще один вопрос. О-нотация относится к среднему случаю. Вернемся к нашим экспериментам, связанным с поиском элемента в массиве. Если бы фамилия "Smith" всегда была первым элементом в массиве, последовательный поиск был бы быстрее бинарного, - искомый элемент был бы обнаружен при первом же выполнении цикла. Такая ситуация известна под названием лучший случай. Для нашего примера в О-нотации ее можно представить как O(1) (т.е. выполнение алгоритма занимает одно и то же время независимо от количества элементов в массиве).
